（2013•东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/09 20:38:31

（2013•东营）已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0＜t＜10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

（2013•东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．

（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²．
由抛物线过B（0，-1）得：4a=-1，
∴a＝−
1
4，
∴抛物线的解析式为y＝−
1
4(x−2)2．
即y＝−
1
4x2+x−1．

（2）如图1，设C的坐标为（x，y）．
∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴
OB
AD＝
OA
CD
∴OB•CD=OA•AD．

即1•|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4．
∵点C在第四象限．
∴y=-2x+4，
由

y＝−2x+4
y＝−
1
4x2+x−1，
解得

x1＝10
y1＝−16，

x2＝2
y2＝0．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上．
∴点C的坐标为（10，-16），
∵P为圆心，∴P为BC中点．
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
∴PH=
1
2（OB+CD）=
17
2．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5，-
17
2）．
故点P坐标为（5，-
17
2）．

（3）如图2，设点N的坐标为（t，-
1
4t²+t-1），直线x=t（0＜t＜10）与直线BC交于点M．
S△BMN＝
1
2MN•t，S△CMN＝
1
2MN•(10−t)，
所以S△BCN＝S△BMN+S△CMN＝
1
2MN×10，
设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B（0，-1）、C （10，-16），
所以

b＝−1
10k+b＝−16成立，
解得：

k＝−
3
2
b＝−1，
所以直线BC的解析式为y＝−
3
2x−1，则点M的坐标为（t，-
3
2t-1），
MN=(−
1
4t2+t−1)−(−
3
2t−1)=−
1
4t2+
5
2t，
S△BCN＝
1
2(−
1
4t2+
5
2t)×10，
=−
5
4t2+
25
2t
=−
5
4(t−5)2+
125
4，
所以，当t=5时，S_△BCN有最大值，最大值是
125
4．