判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/22 21:07:48
判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.
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![判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.](/uploads/image/z/7911546-42-6.jpg?t=%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%2F%28x%5E2-1%29%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%28-1%2C1%29%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E7%BB%99%E5%87%BA%E8%AF%81%E6%98%8E.)
楼上的好复杂啊,没有那个必要哟!
f(x)=x/(x^2-1)=1/2×[1/(x-1)+1/(x+1)]
函数y=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)内单调减少,
所以1/(x-1),1/(x+1)在(-1,1)内单调减少,
所以函数f(x)在(-1,1)内单调减少
由定义也可以:
函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
证明:设-1<a<b<1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1<x<1∴ ab+1>0 a^2-1<0 b-a<0
∴ (ab+1)(b-a)>0 (a^2-1)(b^2-1)
>0
∴f(a)>f(b) ∵a<b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
f(x)=x/(x^2-1)=1/2×[1/(x-1)+1/(x+1)]
函数y=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)内单调减少,
所以1/(x-1),1/(x+1)在(-1,1)内单调减少,
所以函数f(x)在(-1,1)内单调减少
由定义也可以:
函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
证明:设-1<a<b<1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1<x<1∴ ab+1>0 a^2-1<0 b-a<0
∴ (ab+1)(b-a)>0 (a^2-1)(b^2-1)
>0
∴f(a)>f(b) ∵a<b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
判断函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上的单调性,给出证明
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