已知函数f(x)=x/(1+x^2) 1 判断其奇偶性 2 判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并给出证明
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/25 02:25:10
已知函数f(x)=x/(1+x^2) 1 判断其奇偶性 2 判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并给出证明
3 利用1和2的结论,指出函数在(-1,0)上的单调性
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第一个问题:
∵f(x)=x/(1+x^2),∴f(-x)=-x/[1+(-x)^2]=-x/(1+x^2),
∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.
第二个问题:
∵f(x)=x/(1+x^2),
∴f′(x)
=[x′(1+x^2)-x(1+x^2)′]/(1+x^2)^2=(1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2
=(1-x^2)/(1+x^2)^2.
∴在区间(1,+∞)上,f′(x)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
第三个问题:
∵f′(x)=(1-x^2)/(1+x^2)^2,∴在区间(-1,0)上,f′(x)>0,
∴f(x)在区间(-1,0)上是增函数.
∵f(x)=x/(1+x^2),∴f(-x)=-x/[1+(-x)^2]=-x/(1+x^2),
∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.
第二个问题:
∵f(x)=x/(1+x^2),
∴f′(x)
=[x′(1+x^2)-x(1+x^2)′]/(1+x^2)^2=(1+x^2-2x^2)/(1+x^2)^2
=(1-x^2)/(1+x^2)^2.
∴在区间(1,+∞)上,f′(x)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
第三个问题:
∵f′(x)=(1-x^2)/(1+x^2)^2,∴在区间(-1,0)上,f′(x)>0,
∴f(x)在区间(-1,0)上是增函数.
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