搜搜做题作业网一道函数单调性证明题!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 17:18:12
一道函数单调性证明题!
证明：
分两步.
一、 证明对任意的x∈(a,b),x＞x0,都有 φ（x）＞φ（x0）
对任意的x∈(a,b),x＜x0,都有 φ（x）＜φ（x0）.
因为两种情况的证明是类似的,所以我们仅就x∈(a,b),x＜x0的情况证明它.
由拉格朗日中值定理,存在ξ∈（x,x0）,使得
〔f(x0)-f(x)〕/(x0-x)=f′(ξ)
因为ξ＜x0,且f′(x)单调增,
所以有f′(ξ) ＜f′(x0).
二、 证明对任意的x1,x2∈(a,b),x1≠x0,x2≠x0,x1＜x2,都有φ（x1）＜φ（x2）.为了叙述方便,在下面我们假设x0＜x1＜x2
同样由拉格朗日中值定理,存在λ∈（x0,x1）,使得
φ（x1）=〔f(x1)-f(x0)〕/(x1-x0)=f′(λ)
从而f(x1)-f(x0)= (x1-x0)f′(λ)
同样存在μ∈（x1,x2）,使得
〔f(x2)-f(x1)〕/(x2-x1)=f′(μ)
因为μ＞λ,且f′(x)单调增,
所以有f′(μ) ＞f′(λ).
从而f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f′(μ) ＞(x2-x1)f′(λ)
所以
φ（x2）=〔f(x2)-f(x0)〕/(x2-x0)
=〔f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(x0)〕/(x2-x0)
＞〔(x2-x1)f′(λ)+ (x1-x0)f′(λ) 〕/(x2-x0)
=（x2-x1+ x1-x0）f′(λ)/ (x2-x0)
=(x2-x0) f′(λ)/ (x2-x0)
= f′(λ)=φ（x1）
综合这两步,我们就证明了整个结论.
分两步.
一、 证明对任意的x∈(a,b),x＞x0,都有 φ（x）＞φ（x0）
对任意的x∈(a,b),x＜x0,都有 φ（x）＜φ（x0）.
因为两种情况的证明是类似的,所以我们仅就x∈(a,b),x＜x0的情况证明它.
由拉格朗日中值定理,存在ξ∈（x,x0）,使得
〔f(x0)-f(x)〕/(x0-x)=f′(ξ)
因为ξ＜x0,且f′(x)单调增,
所以有f′(ξ) ＜f′(x0).
二、 证明对任意的x1,x2∈(a,b),x1≠x0,x2≠x0,x1＜x2,都有φ（x1）＜φ（x2）.为了叙述方便,在下面我们假设x0＜x1＜x2
同样由拉格朗日中值定理,存在λ∈（x0,x1）,使得
φ（x1）=〔f(x1)-f(x0)〕/(x1-x0)=f′(λ)
从而f(x1)-f(x0)= (x1-x0)f′(λ)
同样存在μ∈（x1,x2）,使得
〔f(x2)-f(x1)〕/(x2-x1)=f′(μ)
因为μ＞λ,且f′(x)单调增,
所以有f′(μ) ＞f′(λ).
从而f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f′(μ) ＞(x2-x1)f′(λ)
所以
φ（x2）=〔f(x2)-f(x0)〕/(x2-x0)
=〔f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(x0)〕/(x2-x0)
＞〔(x2-x1)f′(λ)+ (x1-x0)f′(λ) 〕/(x2-x0)
=（x2-x1+ x1-x0）f′(λ)/ (x2-x0)
=(x2-x0) f′(λ)/ (x2-x0)
= f′(λ)=φ（x1）
综合这两步,我们就证明了整个结论.