已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点做EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 08:22:17

已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点做EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG
2.将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG,问1中的结论是否仍然成立?请证明
3.将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应线段,问1中结论是否成立,EG是否垂直于CG,请证明

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG．（2）结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．

（1）证明：在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,
∴CG=1/2FD,
同理,在Rt△DEF中,
EG=1/2FD,
∴CG=EG．

（1）中结论仍然成立,即EG=CG．
证法一：连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG,
∴AG=CG；
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG,
∴MG=NG；
在矩形AENM中,AM=EN,
在△AMG与△ENG中,
∵AM=EN,∠AMG=∠ENG,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG,
∴AG=EG,
∴EG=CG．
证法二：延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG,
∴EG=1/2MC,
∴EG=CG．

（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N．
由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,
又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°,∴∠FEC+∠FEM=90°,即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G为CM中点,
∴EG=CG,EG⊥CG．

点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．