已知：在定圆O内有两条互相垂直的弦AC、BD.求证：AB平方+BC平方+CD平方+DA平方=定值

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 22:17:11

已知：在定圆O内有两条互相垂直的弦AC、BD.求证：AB平方+BC平方+CD平方+DA平方=定值
如上所述

做这一类题要有一个良好的思路
首先用特殊情况判断该定值是多少,以便将来验证,我们知道当AC,BD都为直径时,原式=8R²
然后再按步骤来,
从O做OE,OF分别垂直AC.BD于E.F,设AC=2n,BD=2m,则,AE=CE=n,BF=CF=m
连OA,OB,OC,OD====R
1,当AC与BD相交于圆内P,则,OE=FP=FB-PB=m-PB,OF=EP=EC-PC=n-PC
OE²=R²-n²=(m-PB)² OF²=R²-m²=（n-PC）²
PB=m-根号（R²-n²） PC=n-根号（R²-m²）
PA=m+根号（R²-n²） PD=n+根号（R²-m²）
原式=2(PA²+PB²+PC²+PD²）=8R²
2,当AC与BD相交于C(D),则,AB为直径
AB=2R,CD=0,BC²+AC²=AB²=4R²
原式=8R²
3,当AC与BD相交于圆外点Q
自己练练吧

已知：在定圆O内有两条互相垂直的弦AC、BD.求证：AB平方+BC平方+CD平方+DA平方=定值如图所示,在△ABC中,已知CD垂直AB于D,AC大于BC.求证AC平方-BC平方=AD平方-BD平方=AB（AD-BD 已知,在三角形ABC中,AB大于CD,AD是BC边上的高,求证：AB平方-AC平方=BC(BD-CD) 如图,三角形abc中,cd垂直ab于d,ac大于bc,求证：ac的平方－bc的平方=ad的平方-bd的平方=ab（ad- 已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,求证BC的平方=2AC× CD RT三角形ABC中斜边AB上有点D已知BC平方-BD平方=AC平方-AD平方,CD是否垂直于AB? 已知三角形ABC中AB=AC,D为BC上一点,求证CD的平方+BD的平方=2AD的平方四边形ABCD中,AC垂直BD,AC与BD交于点O,试说明AB平方加CD平方等于BC平方加AD平方如图所示,在三角形ABC中,AB大于AC,AD垂直BC,垂足为D.请说明AB的平方-AC的平方=BC*（BD-CD）如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直AB于D,求证：AC平方：BC平方=AD：BD 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,求证BD的平方+CD的平方=2AD的平方在圆O中,设半径为R,弦AB、CD互相垂直,连接AD、BC.证明：AD平方+BC平方...