搜搜做题作业网求证：三角形的任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 20:16:14
求证：三角形的任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍.
H、O分别是△ABC的垂心、外心,过O作OD⊥BC交BC于D.求证：AH＝2OD.
证明：
过O作OE⊥AB交AB于E,过E作EF⊥BC交BH于F,连结DF.
∵O是△ABC的外心,OD⊥BC、OE⊥AB,∴BD＝CD、AE＝BE.
∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC、CH⊥AB.
由AH⊥BC、EF⊥BC,得：EF∥AH,又AE＝BE,∴BF＝HF.
由BF＝HF、BD＝CD,得：DF是△BCH的中位线,∴DF∥CH.
由DF∥CH、OE⊥AB、CH⊥AB,得：OE∥DF.
由OD⊥BC、EF⊥BC,得：OD∥EF,结合证得的OE∥DF,得：ODFE是平行四边形,
∴OD＝EF.
由BE＝AE、BF＝HF,得：EF是△BAH的中位线,∴AH＝2EF,结合证得的OD＝EF,得：
AH＝2OD.
再问： 你的过程有写不明白，DF很明显是和CH相交且交点为C怎么会平行呢.
再答： 请你认真将图画好，DF一定是与CH平行的。
再问： 我就是按照你所说的画，可是还是不行.你能不能把图传上来.
再答： 相关的图如下：
证明：
过O作OE⊥AB交AB于E,过E作EF⊥BC交BH于F,连结DF.
∵O是△ABC的外心,OD⊥BC、OE⊥AB,∴BD＝CD、AE＝BE.
∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC、CH⊥AB.
由AH⊥BC、EF⊥BC,得：EF∥AH,又AE＝BE,∴BF＝HF.
由BF＝HF、BD＝CD,得：DF是△BCH的中位线,∴DF∥CH.
由DF∥CH、OE⊥AB、CH⊥AB,得：OE∥DF.
由OD⊥BC、EF⊥BC,得：OD∥EF,结合证得的OE∥DF,得：ODFE是平行四边形,
∴OD＝EF.
由BE＝AE、BF＝HF,得：EF是△BAH的中位线,∴AH＝2EF,结合证得的OD＝EF,得：
AH＝2OD.
再问： 你的过程有写不明白，DF很明显是和CH相交且交点为C怎么会平行呢.
再答： 请你认真将图画好，DF一定是与CH平行的。
再问： 我就是按照你所说的画，可是还是不行.你能不能把图传上来.
再答： 相关的图如下：
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