作业帮 > 数学 > 作业

已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|,则当x=______时,f(x)取得最小

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/24 08:06:05
已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|,则当x=______时,f(x)取得最小值.
已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|,则当x=______时,f(x)取得最小
f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x-
1
2|+3|x-
1
3|+…+100|x-
1
100|
=|x-1|+|x-
1
2|+|x-
1
2|+|x-
1
3|+|x-
1
3|+|x-
1
3|+…+|x-
1
100|
共有(1+100)×100×
1
2=5050项
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
(注:|x-a|为x到a的距离…
|x-a|+|x-b|即为x到a的距离加上x到b的距离,
当x在a,b之间时,|x-a|+|x-b|最小且值为a到b的距离)
所以f(x)的5050项 前后对应每两项相加,使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f(x)≥(1-
1
100)+(
1
2-
1
100)+…+…当x在每一对a,b之间时,等号成立
由于70×(1+70)×
1
2=2485
71×(71+1)×
1
2=2556
所以f(x)最中间的两项(第2525,2526项)是|x-
1
71|
所以f(x)≥(1-
1
100)+(
1
2-
1
100)+…+(
1
71-
1
71)
当x=
1
71时等号成立
则当x=
1
71时f(x)取得最小值