高二数学题已知函数f(x)=x^3-3x^2+ax+2,曲线y=f(x)在(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2⑴求
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/24 17:29:14
高二数学题
已知函数f(x)=x^3-3x^2+ax+2,曲线y=f(x)在(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2
⑴求a的值;
⑵证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点
已知函数f(x)=x^3-3x^2+ax+2,曲线y=f(x)在(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2
⑴求a的值;
⑵证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点
(1)f′(x)=3x^2-6x+a,f′(0)=a.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.由题设得-2/a=-2,所以a=1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x^3-3x^2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x^3-3x^2+(1-k)x+4.由题设知1-k>0.当x≤0时,g′(x)=3x^2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x^3-3x^2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x^2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.图片版如下:满意请采纳,谢谢!
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已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
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