如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 10:16:09

如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5,cos∠ECF= 25,求弦AC的长．

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分析：（1）连接OC．欲证FC是⊙O的切线,只需证明FC⊥OC即可；
（2）连接BC．利用（1）中的∠AED=∠FEC=∠ECF、圆周角定理求得BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10× 2/5=4；然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AC的长度即可．

（1）证明：连接OC．
∵FC=FE（已知）,
∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；
又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等）,
∴∠FCE=∠AED（等量代换）；
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∴∠FCE+∠OCA=90°,即FC⊥OC,
∴FC是⊙O的切线；

连接BC．
∵AB是⊙O的直径,⊙O的半径为5,
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）,AB=2OA=10,
∴∠A+∠ABC=90°．
∵DF⊥AB,
∴∠A+∠AED=90°,
∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED,即∠ABC=∠AED；
由（1）知,∠AED=∠FEC=∠ECF,
∴BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×2/5=4,
∴AC=√﹙AB²-BC²﹚=√﹙10²-4²﹚=2√21

本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形．要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点（即为半径）,再证垂直即可．

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如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE．（2012•镇江）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC||AB,求证:△ADE≌△CFE 如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB．求证：AE=CE．几何——圆已知如图,AB是圆O的直径,AB=AC,BC交圆O于点D,延长CA交圆O于点F,连接DF,DE⊥CF于点E（1 已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．如图,在△abc中,ab=ac,以ac为直径作圆o交bc于点e,过点d作fe⊥ab于点e,交ac的延长线于点f. 如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦DE⊥AB分别交⊙O于E,交AB于H,交AC于F．P是ED 如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，试判断AE与CE有怎样的数量关系？并证明你的结论．