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求助高中数学题已知a1=1/2,a(n+1)=an/(2an+3),求证a1+a2+a3+.+an

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 02:24:13
求助高中数学题已知a1=1/2,a(n+1)=an/(2an+3),求证a1+a2+a3+.+an<11/16
求助高中数学题已知a1=1/2,a(n+1)=an/(2an+3),求证a1+a2+a3+.+an
不动点法:先解方程x=x/(2x+3),得x=0,x=-1.
改写递推式为:an+1=an/(2an+3);an+1+1=3(an+1)/(2an+3).
两式相除,得(an+1+1)/an+1=3[(an+1)/an],所以数列{(an+1)/an }是等比数列.
所以(an+1)/an=3n.所以an=1/(3n-1).
数列和式则采用放缩法:由11/16=1/2+(1/8)/[1-1/3]=1/2+1/8+1/24+1/72+……可得