搜搜做题作业网问一道有点难度的不等式的数学题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 06:32:10
问一道有点难度的不等式的数学题
设a,b,c,X,Y,Z属于实数.证明：ax+by+cz+[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)>=(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
设a,b,c,X,Y,Z属于实数.证明：ax+by+cz+[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)>=(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
由柯西不等式：
[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)>=|ax|+|by|+|cz|>=ax+by+cz
所以只要证明：
2(ax+by+cz)>=(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
也即：ax+by+cz>=(a+b+c)(x+y+z)/3
由对称性不妨设
x=(a+b+c)(x+y+z)
得证.
[(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)]^(1/2)>=|ax|+|by|+|cz|>=ax+by+cz
所以只要证明：
2(ax+by+cz)>=(2/3)(a+b+c)(x+y+z)
也即：ax+by+cz>=(a+b+c)(x+y+z)/3
由对称性不妨设
x=(a+b+c)(x+y+z)
得证.