搜搜做题作业网高中数学解题思想方法全部内容 答案 高分悬赏
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 13:04:38
高中数学解题思想方法全部内容 答案 高分悬赏
高考专题：解析几何常规题型及方法
本章节处理方法建议：
纵观2006年全国各省市18套文、理高考试卷,普遍有一个规律：占解几分值接近一
半的填空、选择题难度不大,中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一
半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与
几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向
量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合
能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”
的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有
时20题）就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍.
鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很
大.有容易题,有中难题.因此在复习中基调为狠抓基础.不能因为高考中的解几解答题
较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻
下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习,高考时就
能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几
分算几分.
三、高考核心考点
1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）
2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）
3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）
4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算
5、了解线性规划的意义及简单应用
6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算
7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）
8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题
四、常规题型及解题的技巧方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 , ,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数.
典型例题 给定双曲线 .过A（2,1）的直线与双曲线交于两点 及 ,求线段 的中点P的轨迹方程.
分析：设 , 代入方程得 , .
两式相减得
.
又设中点P（x,y）,将 , 代入,当 时得
.
又 ,
代入得 .
当弦 斜率不存在时,其中点P（2,0）的坐标也满足上述方程.
因此所求轨迹方程是
说明：本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况.
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点 、 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥.
典型例题 设P(x,y)为椭圆 上任一点, , 为焦点, , .
（1）求证离心率 ；
（2）求 的最值.
分析：（1）设 , ,由正弦定理得 .
得 ,
（2） .
当 时,最小值是 ；
当 时,最大值是 .
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法
典型例题
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式.
（1）证明：抛物线的准线为
由直线x+y=t与x轴的交点（t,0）在准线右边,得
故直线与抛物线总有两个交点.
（2）设点A(x1,y1),点B(x2,y2)
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题,常用代数法和几何法解决.
若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决.
若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数（通常利用二次函数,三角函数,均值不等式）求最值.
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0),过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p
（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于（1）,可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即：“求范围,找不等式”.或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想”.
(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2),则 ,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q,令其坐标为（x3,y3）,则由中点坐标公式得：
,
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|= ,所以S△NAB= ,即△NAB面积的最大值为 2.
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决.
典型例题
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A（-1,0）和点B（0,8）关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程.
分析：曲线的形状已知,可以用待定系数法.
设出它们的方程,L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
A/（ ）,B（ ）.因为A、B均在抛物线上,代入,消去p,得：k2-k-1=0.解得：k= ,p= .
所以直线L的方程为：y= x,抛物线C的方程为y2= x.
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 （ >0）,求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线.
分析：如图,设MN切圆C于点N,则动点M组成的集合是：P={M||MN|= |MQ|},由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M点坐标代入,可得：( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.
当 =1时它表示一条直线；当 ≠1时,它表示圆.这种方法叫做直接法.
（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内.（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
典型例题 已知椭圆C的方程 ,试确定m的取值范围,使得对于直线 ,椭圆C上有不同两点关于直线对称.
分析：椭圆上两点 , ,代入方程,相减得
.
又 , , ,代入得 .
又由 解得交点 .
交点在椭圆内,则有 ,得 .
（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 来处理或用向量的坐标运算来处理.
典型例题 已知直线 的斜率为 ,且过点 ,抛物线 ,直线 与抛物线C有两个不同的交点（如图）.
（1）求 的取值范围；
（2）直线 的倾斜角 为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直.
分析：（1）直线 代入抛物线方程得 ,
由 ,得 .
（2）由上面方程得 ,
,焦点为 .
由 ,得 , 或
B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量.下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量.
典型例题 设直线 与圆 相交于P、Q两点,O为坐标原点,若 ,求 的值.
圆 过原点,并且 ,
是圆的直径,圆心的坐标为
又 在直线 上,
即为所求.
评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且 ,PQ是圆的直径,圆心在直线 上,而是设 再由 和韦达定理求 ,将会增大运算量.
评注：此题若不能挖掘利用几何条件 ,点M是在以OP为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦.
二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到.
典型例题 已知中心在原点O,焦点在 轴上的椭圆与直线 相交于P、Q两点,且 , ,求此椭圆方程.
设椭圆方程为 ,直线 与椭圆相交于P 、 两点.
由方程组 消去 后得
由 ,得 （1）
又P、Q在直线 上,
把（1）代入,得 ,
即
化简后,得
（4）
由 ,得
把（2）代入,得 ,解得 或
代入（4）后,解得 或
由 ,得 .
所求椭圆方程为
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算.
三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算.
典型例题 求经过两已知圆 和 0的交点,且圆心在直线 ： 上的圆的方程.
设所求圆的方程为：
即 ,
其圆心为C（ ）
又C在直线 上, ,解得 ,代入所设圆的方程得 为所求.
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算.
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法.
典型例题 P为椭圆 上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标.
五、线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 代入圆锥曲线方程中,得到型如 的方程,方程的两根设为 , ,判别式为△,则 ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程.
例 求直线 被椭圆 所截得的线段AB的长.
② 结合图形的特殊位置关系,减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算.
例 、 是椭圆 的两个焦点,AB是经过 的弦,若 ,求值
③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A（3,2）为定点,点F是抛物线 的焦点,点P在抛物线 上移动,若 取得最小值,求点P的坐标.
本章节处理方法建议：
纵观2006年全国各省市18套文、理高考试卷,普遍有一个规律：占解几分值接近一
半的填空、选择题难度不大,中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一
半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与
几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向
量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合
能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”
的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有
时20题）就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍.
鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很
大.有容易题,有中难题.因此在复习中基调为狠抓基础.不能因为高考中的解几解答题
较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻
下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习,高考时就
能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几
分算几分.
三、高考核心考点
1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）
2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）
3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）
4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算
5、了解线性规划的意义及简单应用
6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算
7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）
8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题
四、常规题型及解题的技巧方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 , ,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数.
典型例题 给定双曲线 .过A（2,1）的直线与双曲线交于两点 及 ,求线段 的中点P的轨迹方程.
分析：设 , 代入方程得 , .
两式相减得
.
又设中点P（x,y）,将 , 代入,当 时得
.
又 ,
代入得 .
当弦 斜率不存在时,其中点P（2,0）的坐标也满足上述方程.
因此所求轨迹方程是
说明：本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况.
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点 、 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥.
典型例题 设P(x,y)为椭圆 上任一点, , 为焦点, , .
（1）求证离心率 ；
（2）求 的最值.
分析：（1）设 , ,由正弦定理得 .
得 ,
（2） .
当 时,最小值是 ；
当 时,最大值是 .
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法
典型例题
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式.
（1）证明：抛物线的准线为
由直线x+y=t与x轴的交点（t,0）在准线右边,得
故直线与抛物线总有两个交点.
（2）设点A(x1,y1),点B(x2,y2)
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题,常用代数法和几何法解决.
若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决.
若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数（通常利用二次函数,三角函数,均值不等式）求最值.
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0),过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p
（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于（1）,可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即：“求范围,找不等式”.或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想”.
(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2),则 ,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q,令其坐标为（x3,y3）,则由中点坐标公式得：
,
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|= ,所以S△NAB= ,即△NAB面积的最大值为 2.
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决.
典型例题
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A（-1,0）和点B（0,8）关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程.
分析：曲线的形状已知,可以用待定系数法.
设出它们的方程,L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
A/（ ）,B（ ）.因为A、B均在抛物线上,代入,消去p,得：k2-k-1=0.解得：k= ,p= .
所以直线L的方程为：y= x,抛物线C的方程为y2= x.
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q（2,0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 （ >0）,求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线.
分析：如图,设MN切圆C于点N,则动点M组成的集合是：P={M||MN|= |MQ|},由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M点坐标代入,可得：( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.
当 =1时它表示一条直线；当 ≠1时,它表示圆.这种方法叫做直接法.
（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内.（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
典型例题 已知椭圆C的方程 ,试确定m的取值范围,使得对于直线 ,椭圆C上有不同两点关于直线对称.
分析：椭圆上两点 , ,代入方程,相减得
.
又 , , ,代入得 .
又由 解得交点 .
交点在椭圆内,则有 ,得 .
（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 来处理或用向量的坐标运算来处理.
典型例题 已知直线 的斜率为 ,且过点 ,抛物线 ,直线 与抛物线C有两个不同的交点（如图）.
（1）求 的取值范围；
（2）直线 的倾斜角 为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直.
分析：（1）直线 代入抛物线方程得 ,
由 ,得 .
（2）由上面方程得 ,
,焦点为 .
由 ,得 , 或
B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大.事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量.下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量.
典型例题 设直线 与圆 相交于P、Q两点,O为坐标原点,若 ,求 的值.
圆 过原点,并且 ,
是圆的直径,圆心的坐标为
又 在直线 上,
即为所求.
评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且 ,PQ是圆的直径,圆心在直线 上,而是设 再由 和韦达定理求 ,将会增大运算量.
评注：此题若不能挖掘利用几何条件 ,点M是在以OP为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦.
二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到.
典型例题 已知中心在原点O,焦点在 轴上的椭圆与直线 相交于P、Q两点,且 , ,求此椭圆方程.
设椭圆方程为 ,直线 与椭圆相交于P 、 两点.
由方程组 消去 后得
由 ,得 （1）
又P、Q在直线 上,
把（1）代入,得 ,
即
化简后,得
（4）
由 ,得
把（2）代入,得 ,解得 或
代入（4）后,解得 或
由 ,得 .
所求椭圆方程为
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算.
三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算.
典型例题 求经过两已知圆 和 0的交点,且圆心在直线 ： 上的圆的方程.
设所求圆的方程为：
即 ,
其圆心为C（ ）
又C在直线 上, ,解得 ,代入所设圆的方程得 为所求.
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算.
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法.
典型例题 P为椭圆 上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标.
五、线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果,减少运算过程
一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程 代入圆锥曲线方程中,得到型如 的方程,方程的两根设为 , ,判别式为△,则 ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程.
例 求直线 被椭圆 所截得的线段AB的长.
② 结合图形的特殊位置关系,减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算.
例 、 是椭圆 的两个焦点,AB是经过 的弦,若 ,求值
③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A（3,2）为定点,点F是抛物线 的焦点,点P在抛物线 上移动,若 取得最小值,求点P的坐标.