搜搜做题作业网求高中数学解题思想方法全部内容 答案
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/13 06:53:34
求高中数学解题思想方法全部内容 答案
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先给你一个吧!
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：
a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab；
a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ；
a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]
a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；
x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等.
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a }中,a a +2a a +a a =25,则 a ＋a ＝_______.
2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.
A. 0即可,选B.
3小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解.选C.
4小题：配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.
5小题：答案3－ .
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____.
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长 ,将其配凑成两已知式的组合形式可得.
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得： .
长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5
所以选B.
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.
例2. 设方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q,若( ) +( ) ≤7成立,求实数k的取值范围.
【解】方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q,由韦达定理得：p＋q＝－k,pq＝2 ,
( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7, 解得k≤－ 或k≥ .
又 ∵p、q为方程x ＋kx＋2=0的两实根, ∴ △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2
综合起来,k的取值范围是：－ ≤k≤－ 或者 ≤k≤ .
【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p＋q与pq的组合式.假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视.
例3. 设非零复数a、b满足a ＋ab＋b =0,求( ) ＋( ) .
【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ＋( )＋1＝0,则 ＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b) ＝ab .则代入所求式即得.
【解】由a ＋ab＋b =0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ,
设ω＝ ,则ω ＋ω＋1＝0,可知ω为1的立方虚根,所以： ＝ ,ω ＝ ＝1.
又由a ＋ab＋b =0变形得：(a＋b) ＝ab ,
所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 .
【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开.
【另解】由a ＋ab＋b ＝0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ,解出 ＝ 后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式( ) ＋( ) 后,完成后面的运算.此方法用于只是未 联想到ω时进行解题.
假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝ b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算.
Ⅲ、巩固性题组：
1.函数y＝(x－a) ＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____.
A. 8 B. C. D.最小值不存在
2.α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的两实根,则(α-1) +(β-1) 的最小值是_____.
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
3.已知x、y∈R ,且满足x＋3y－1＝0,则函数t＝2 ＋8 有_____.
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4.椭圆x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上,则a＝_____.
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5.化简：2 ＋ 的结果是_____.
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F 和F 为双曲线 －y ＝1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F PF ＝90°,则△F PF 的面积是_________.
7. 若x>－1,则f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值为___________.
8. 已知 〈β1,m∈R,x＝log t＋log s,y＝log t＋log s＋m(log t＋log s),
①将y表示为x的函数y＝f(x),并求出f(x)的定义域；
②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求m的取值范围
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：
a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab；
a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ；
a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]
a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；
x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等.
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a }中,a a +2a a +a a =25,则 a ＋a ＝_______.
2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.
A. 0即可,选B.
3小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解.选C.
4小题：配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.
5小题：答案3－ .
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____.
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长 ,将其配凑成两已知式的组合形式可得.
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得： .
长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5
所以选B.
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.
例2. 设方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q,若( ) +( ) ≤7成立,求实数k的取值范围.
【解】方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q,由韦达定理得：p＋q＝－k,pq＝2 ,
( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7, 解得k≤－ 或k≥ .
又 ∵p、q为方程x ＋kx＋2=0的两实根, ∴ △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2
综合起来,k的取值范围是：－ ≤k≤－ 或者 ≤k≤ .
【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p＋q与pq的组合式.假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视.
例3. 设非零复数a、b满足a ＋ab＋b =0,求( ) ＋( ) .
【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ＋( )＋1＝0,则 ＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b) ＝ab .则代入所求式即得.
【解】由a ＋ab＋b =0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ,
设ω＝ ,则ω ＋ω＋1＝0,可知ω为1的立方虚根,所以： ＝ ,ω ＝ ＝1.
又由a ＋ab＋b =0变形得：(a＋b) ＝ab ,
所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 .
【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开.
【另解】由a ＋ab＋b ＝0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ,解出 ＝ 后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式( ) ＋( ) 后,完成后面的运算.此方法用于只是未 联想到ω时进行解题.
假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝ b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算.
Ⅲ、巩固性题组：
1.函数y＝(x－a) ＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____.
A. 8 B. C. D.最小值不存在
2.α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的两实根,则(α-1) +(β-1) 的最小值是_____.
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
3.已知x、y∈R ,且满足x＋3y－1＝0,则函数t＝2 ＋8 有_____.
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4.椭圆x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上,则a＝_____.
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5.化简：2 ＋ 的结果是_____.
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F 和F 为双曲线 －y ＝1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F PF ＝90°,则△F PF 的面积是_________.
7. 若x>－1,则f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值为___________.
8. 已知 〈β1,m∈R,x＝log t＋log s,y＝log t＋log s＋m(log t＋log s),
①将y表示为x的函数y＝f(x),并求出f(x)的定义域；
②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求m的取值范围