搜搜做题作业网求导证明题 有图
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 04:53:06
求导证明题 有图
证明：
令F(x)=∫(上限sin²x下限0)acrsin√t dt +∫(上限cos²x下限0)arccos√t dt
对F(x)求导得到
F'(x)=(sin²x)' * acrsin√(sin²x) + (cos²x)' * arccos√(cos²x)
=2sinx*cosx *x -2sinx*cosx*x
=0
所以
F '(x)=0,即F(x)在[0,π/2]为定值
而F(0)=∫(上限1,下限0)arccos√t dt
令t=cos²a,那么arccos√t=a,
所以
F(0)= -∫(上限0,下限π/2) 2a*cosa*sina da
=∫(上限π/2,下限0) a *sin2a da
= -0.5a*cos2a +0.25sin2a (代入上限π/2,下限0)
=π/4
而F(x)在[0,π/2]为定值
所以F(x)在[0,π/2]上恒等于π/4,命题就得到了证明
令F(x)=∫(上限sin²x下限0)acrsin√t dt +∫(上限cos²x下限0)arccos√t dt
对F(x)求导得到
F'(x)=(sin²x)' * acrsin√(sin²x) + (cos²x)' * arccos√(cos²x)
=2sinx*cosx *x -2sinx*cosx*x
=0
所以
F '(x)=0,即F(x)在[0,π/2]为定值
而F(0)=∫(上限1,下限0)arccos√t dt
令t=cos²a,那么arccos√t=a,
所以
F(0)= -∫(上限0,下限π/2) 2a*cosa*sina da
=∫(上限π/2,下限0) a *sin2a da
= -0.5a*cos2a +0.25sin2a (代入上限π/2,下限0)
=π/4
而F(x)在[0,π/2]为定值
所以F(x)在[0,π/2]上恒等于π/4,命题就得到了证明