研究矩阵的相似对角化的意义

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 12:48:23

研究矩阵的相似对角化的意义

理论上看,意义是明显的.相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这对理论分析是方便的.相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式,特征根,行列式……如果只关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作没有区别的,这时研究一个一般的可对角化的矩阵,只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了.而对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便.这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究.
另外,对角化突出了矩阵的特征值,而过度矩阵T反映了特征向量的信息,对角化过程的直观意义还是很明显的.再结合正交矩阵的概念,可以得到一些不平凡的结论,例如实对称矩阵总可以对角化.
实践中的矩阵对角化作用也很大.别的不说,比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂,n较大时,按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的,计算复杂度呈指数型增长.但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的),写为=T^(-1)PT,P是对角阵.那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的,只要把各特征值^n即可,此时计算A^n的复杂度几乎与n无关.
以上纯属个人见解,仅供LZ参考:)

研究矩阵的相似对角化的意义关于矩阵可相似对角化的不可对角化的矩阵的相似矩阵线性代数,矩阵可以对角化跟矩阵可以相似对角化的区别? 关于矩阵可相似对角化的题问一个相似矩阵对角化概念上的问题~ 关于矩阵相似对角化的概念问题! 求矩阵等,（相似矩阵,矩阵的特征值与特征向量,矩阵对角化）见图不可相似对角化的矩阵是否存在相似矩阵?怎么求? 关于矩阵合同对角化矩阵相似对角化的充要条件是代数重数等于几何重数,那么矩阵合同对角化也满足这个定理吗一般矩阵,非实对称矩阵,如果它满足相似对角化的条件那它可不可以正交对角化线性代数：矩阵的对角化