“二元关系R,如果具有对称性和传递性,则一定具有自反性”这句话是否正确?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 08:56:13

“二元关系R,如果具有对称性和传递性,则一定具有自反性”这句话是否正确?
如果aRb,则由对称性有bRa,再由传递性有aRa.二元关系的四种性质应当是互相独立的,也就是说这种说法应该是错误的,但是上面的推理错在哪里?

这个提法是错误的,理由如下：
自反性：aRa
对称性：if aRb ,then bRa
传递性：if aRb,bRc ,then aRc
（R=relation）
由对称性、传递性推出自反性：对any a,if aRb ,then,bRa（自反性）
whence aRa （传递性aRb,bRa）.因而推出自反性.
但上面的推法是错误的.
理由是,若R是集A={a}上的关系,满足对称性和传递性.则无法用上面推出自反性.因为作为条件的aRa就是要证的

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