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设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/22 14:28:47
设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x+y+z
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设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x
左式可化为[(xy)^3+(xz)^3+(yz)^3]/xyz+6xyz;然后[(xy)^3+(xz)^3+(yz)^3]/xyz>=3xyz(这一步是将分子利用(a+b+c)>=3*(abc)^(1/3));因此左式>=9xyz;接下来就只要证明9xyz>=x+y+z就行了,这个时候左右两边都除以xyz;得到9>=1/yz+1/xz+1/xy;因此只要证明这个不等式就行了,而该不等式可化为
9>=[1/yz+1/xz+1/xy]*(xy+yz+xz)(因为xy+yz+xz=1);接下来利用柯西不等式就得证.
总结:对于这类证明不等式的问题,首先就是观察不等式的特征,然后利用一些基本的不等式化法达到目的,特别注意的是1的妙用.
再问: 9>=[1/yz+1/xz+1/xy]*(xy+yz+xz)这样得出来的不等号方向貌似反了吧
再答: 我就是这一步没有检查 结果竟然出了一个这么大得漏子 很对不起 稍等一下 我帮你弄出来
再问: 出来了没?
再答: 昨晚耗了好几个小时 但是还是没有弄出来 未来我肯定可以弄出来的 不过不知道 还要多久
再问: 有空的话再看看我别的问题http://zhidao.baidu.com/question/421540336.html?quesup2&oldq=1 http://zhidao.baidu.com/question/421551918.html?quesup2&oldq=1
再答: 证明出来了,来自叫米迦勒雏菊的网友。