柱坐标系三维拉普拉斯方程中,如果r=0,方程的形式是什么样的?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 23:33:40
柱坐标系三维拉普拉斯方程中,如果r=0,方程的形式是什么样的?
最好能给出个推理过程,谢谢!
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![柱坐标系三维拉普拉斯方程中,如果r=0,方程的形式是什么样的?](/uploads/image/z/5784579-27-9.jpg?t=%E6%9F%B1%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%E4%B8%89%E7%BB%B4%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%AD%2C%E5%A6%82%E6%9E%9Cr%3D0%2C%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E6%98%AF%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%A0%B7%E7%9A%84%3F)
我算了一个多小时,终于算出来了,写在后边.
这个方程是个微分方程,空间任何一点都必须满足这个方程,即使是r = 0,写成方程后也像下边这样.
不知道为什么,图片上传不上来了.我把证明过程放在附件的压缩包里边了.
再问: 额……z轴上的点,也满足这个式子吗?这些点的r=0,那么分母上的r怎么处理?
再答: 哦,之前算的时候没注意。只要r不等于0,即便它趋于0,那个式子还是恒成立的。 在构造方程的时候,你完全可以方程两边同时乘以r^2。对于一个好的原函数来说,(比如二阶微分连续,)乘上一个r^2完全不改变r = 0处的(如二阶)微分连续性。这个时候就不存在问题了。 何况假定了原函数二阶微分连续后,自然将来可以用极限定义微分方程在r = 0处的问题。总的来说,这对你将来解方程不会产生任何影响。 当然,有一种情况,就是你的边界条件如果有超过零维的一个边界落在r = 0上了,这样整个方程就没办法正常构造了。但是换句话说,证明这个时候你的问题是不是根本没有柱坐标对称性? 也有一种情况,比如r = 0处可能有个源,所以这个时候那里就会产生一个一维的坏边界条件。但是这个时候,你解方程最后完全可以用极限的方式用上这个边界条件。 总之我想来想去,大概就这几种情况了吧。
再问: 其实是这样的,麻烦兄台再看一下:我最近看到一篇论文,是关于差分计算柱坐标下拉普拉斯方程的算法。里面开头给出了方程形式如下:![](http://img.wesiedu.com/upload/f/69/f69993c8d48ce0f4f53d798b1b822882.jpg)
然后,在论文后面他又说了:
他说的那个式(7)是差分化的(1),因为(7)存在分母上有r的情况,所以在r=0处不适用。我就是不明白那个(8)是怎么来的。。
再答: 他把它近似成直角坐标系了,这个时候x轴和y轴都是r。所以r的二阶导有两倍。它这个式子还写错了,z旁边的二阶导位置标错了。
这个方程是个微分方程,空间任何一点都必须满足这个方程,即使是r = 0,写成方程后也像下边这样.
不知道为什么,图片上传不上来了.我把证明过程放在附件的压缩包里边了.
再问: 额……z轴上的点,也满足这个式子吗?这些点的r=0,那么分母上的r怎么处理?
再答: 哦,之前算的时候没注意。只要r不等于0,即便它趋于0,那个式子还是恒成立的。 在构造方程的时候,你完全可以方程两边同时乘以r^2。对于一个好的原函数来说,(比如二阶微分连续,)乘上一个r^2完全不改变r = 0处的(如二阶)微分连续性。这个时候就不存在问题了。 何况假定了原函数二阶微分连续后,自然将来可以用极限定义微分方程在r = 0处的问题。总的来说,这对你将来解方程不会产生任何影响。 当然,有一种情况,就是你的边界条件如果有超过零维的一个边界落在r = 0上了,这样整个方程就没办法正常构造了。但是换句话说,证明这个时候你的问题是不是根本没有柱坐标对称性? 也有一种情况,比如r = 0处可能有个源,所以这个时候那里就会产生一个一维的坏边界条件。但是这个时候,你解方程最后完全可以用极限的方式用上这个边界条件。 总之我想来想去,大概就这几种情况了吧。
再问: 其实是这样的,麻烦兄台再看一下:我最近看到一篇论文,是关于差分计算柱坐标下拉普拉斯方程的算法。里面开头给出了方程形式如下:
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/69/f69993c8d48ce0f4f53d798b1b822882.jpg)
然后,在论文后面他又说了:
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/9c/69cf64053a30bc3d70df72389eb96068.jpg)
再答: 他把它近似成直角坐标系了,这个时候x轴和y轴都是r。所以r的二阶导有两倍。它这个式子还写错了,z旁边的二阶导位置标错了。
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