已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x (1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 01:27:14

已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x (1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.
(1) 若f(x) 在区间
（2）若x=-1/3是f(x)的极值点,求f（x）在[1,a]上的最大值
（3）在（2）的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点?若存在,请求出实数b的取值范围；若不存在,试说明理由.

你第一问没完整吧?如果是下面这道题目：
已知函数f(x)=x^3-ax^2-3x.
(1) 若f(x) 在区间 [1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
（2）若x=-1/3是f(x)的极值点,求f（x）在[1,a]上的最大值
（3）在（2）的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点?若存在,请求出实数b的取值范围；若不存在,试说明理由
答案：
（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x²-2ax-3,
∵f（x）在区间[1,+∞）上是增函数,
∴当x∈[1,+∞）时,恒有f′（x）≥0,
即3x²-2ax-3≥0在区间[1,+∞）上恒成立,
由 △=4a²+36＞0,a/3≤1且f′（1）=-2a≥0,
解得a≤0,
（Ⅱ）依题意得 fʹ(1/3)=0,1/3+2/3a-3=0得：a=4
∴f（x）=x³-4x²-3x,
令f′（x）=3x²-8x-3=0,
解得 x1=-1/3,x2=3
而 f(1)=-6,f(3)=-1/8,f(-13)=-1/2,
故f（x）在区间[1,4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点,
即方程x³-4x²-3x=bx恰有3个不等的实数根,
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一个实数根,则
方程x²-4x-3-b=0有两个非零实数根,
则 △=16+4(b+3)＞0 ；-3-b≠0,
即b＞-7且b≠-3,
故满足条件的b存在,其取值范围是（-7,-3）∪（-3,+∞）．

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