已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 12:30:44
已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)
分析:
先观察一下不等式两边次数,左边-3/2次比右边1/2次小2次,正好是已知条件多项式的次数.不妨试试给左边乘以已知条件中的式子变成齐次式,以利用基本不等式证明.
将用到的基本不等式:若x、y、z都是正数,那么:
x^3+y^3+z^3>=3xyz
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz
等号成立的条件是x=y=z
这两个不等式都是平均值不等式的简单推导结论.
证明:
√a/bc+√b/ac+√c/ab
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3]/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3](ab+bc+ca)/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3][(√ab)^2+(√bc)^2+(√ca)^2]/abc
>=3(√a√b√c)(√ab√bc+√ab√ca+√bc√ca)/abc
=3[√(abc)][√(abc)](√a+√b+√c)/abc
=3abc(√a+√b+√c)/abc
=3(√a+√b+√c)
当且仅当a=b=c时等号成立.
证毕!
先观察一下不等式两边次数,左边-3/2次比右边1/2次小2次,正好是已知条件多项式的次数.不妨试试给左边乘以已知条件中的式子变成齐次式,以利用基本不等式证明.
将用到的基本不等式:若x、y、z都是正数,那么:
x^3+y^3+z^3>=3xyz
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz
等号成立的条件是x=y=z
这两个不等式都是平均值不等式的简单推导结论.
证明:
√a/bc+√b/ac+√c/ab
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3]/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3](ab+bc+ca)/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3][(√ab)^2+(√bc)^2+(√ca)^2]/abc
>=3(√a√b√c)(√ab√bc+√ab√ca+√bc√ca)/abc
=3[√(abc)][√(abc)](√a+√b+√c)/abc
=3abc(√a+√b+√c)/abc
=3(√a+√b+√c)
当且仅当a=b=c时等号成立.
证毕!
已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)
已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√(a/bc)+√(b/ac)+√(c/ab)≥3(√a+√b+√c)
已知a,b,c∈R+,求证:ab+bc+ca=3abc.求证ab/a+b + bc/b+c + ca/c+a≥3/2 急
已知:a,b,c∈R+,求证:a+b+c≥ab+bc+ca
已知a+b+c=1求证ab+bc+ca
已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证bc/a+ac/b+ab/c>=1
已知a,b,c∈R+ 且不全等,求证:bc+ca+ab/√a+√b+√c>√abc
已知a,b,c∈R,求证(a+b+c)^2≥(ab+bc+ac)
已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca
已知a+b+c=1求证ab+ac+bc
已知a,b,c,∈R+.求证bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c
已知a,b,c是正数,且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c>=根3