证明:对任何正整数n,n^3+3/2n^2+1/2n都是3的倍数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 21:15:50
证明:对任何正整数n,n^3+3/2n^2+1/2n都是3的倍数
用数学归纳法
(1) 当n=1时,n^3+3/2n^2+1/2n = 3 是3的倍数
(2) 设当n=k时,k^3+3/2k^2+1/2k 是3的倍数,则当n=k+1时,
(k+1)^3+3/2(k+1)^2+1/2(k+1)
= k^3+3/2k^2+1/2k + 3k^2 + 3k +3/2(2k+1) + 1/2
= k^3+3/2k^2+1/2k + 3k^2 + 6k + 3
= k^3+3/2k^2+1/2k + 3*(k^2+2k+1)
也是3的倍数
所以,原命题成立
(1) 当n=1时,n^3+3/2n^2+1/2n = 3 是3的倍数
(2) 设当n=k时,k^3+3/2k^2+1/2k 是3的倍数,则当n=k+1时,
(k+1)^3+3/2(k+1)^2+1/2(k+1)
= k^3+3/2k^2+1/2k + 3k^2 + 3k +3/2(2k+1) + 1/2
= k^3+3/2k^2+1/2k + 3k^2 + 6k + 3
= k^3+3/2k^2+1/2k + 3*(k^2+2k+1)
也是3的倍数
所以,原命题成立
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