已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/04 18:23:54
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1
(1)求函数的单调区间
(2)若f(x)≤0恒成立,求实数k的取值范围
(3)证明(ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1<n(n-1)/4(n∈N+且n>1)
(1)求函数的单调区间
(2)若f(x)≤0恒成立,求实数k的取值范围
(3)证明(ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1<n(n-1)/4(n∈N+且n>1)
(1)f’ (x)=1/(x-1) -k (x>1)
当k≤0时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增
即f'(x)的增区间为(1,+∞) 无减区间
当k0,不满足题意
当k>0时,由(1)知,f(x)有极大值也是最大值f(1+1/k)=ln(1/k)
∵f(x)≤0恒成立
∴只需f(x)的最大值ln(1/k)≤0 解得k≥1
综上,k∈[1,+∞)
(3)取k=1,由(2)知f(x)=ln(x-1)-x+2≤0恒成立
ln(x-1)≤x-2 ln(x-1) /x ≤(x-2)/x
令x=n+1,则(lnn)/(n+1)≤(n-1)/(n+1)<(n-1)/2
∴ (ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1
<1/2+2/2+3/2+…+(n-1)/2
=1/2[1+2+3+…+(n-1)]
=n(n-1)/4
原命题得证.
当k≤0时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增
即f'(x)的增区间为(1,+∞) 无减区间
当k0,不满足题意
当k>0时,由(1)知,f(x)有极大值也是最大值f(1+1/k)=ln(1/k)
∵f(x)≤0恒成立
∴只需f(x)的最大值ln(1/k)≤0 解得k≥1
综上,k∈[1,+∞)
(3)取k=1,由(2)知f(x)=ln(x-1)-x+2≤0恒成立
ln(x-1)≤x-2 ln(x-1) /x ≤(x-2)/x
令x=n+1,则(lnn)/(n+1)≤(n-1)/(n+1)<(n-1)/2
∴ (ln2)/3+(ln3)/4+(ln4)/5+…+(lnn)/n+1
<1/2+2/2+3/2+…+(n-1)/2
=1/2[1+2+3+…+(n-1)]
=n(n-1)/4
原命题得证.
已知函数f(x)=ln(x+1)-x+(k/2)x^2(k≥0)
已知函数f(x)=ln(1+x)-x+(k/2)x^2(k>0),解不等式f'(x)>0
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1.
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1
已知函数f(x)=ln(1+x)-x+k/2x^2 求f(x)的单调性
已知函数f(x)=e^x-ln(x+1).
求数学大神帮忙解答:已知函数f(x)=x ln x,g(x)=k(x-1)
已知函数f(x)=ln(x+1)+kx 其中(k∈R)
已知函数f(x)=kx+ln(e^x+1)为偶函数,求K值
已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,当x>0时,f(x)>k/(x+1)恒成立,求正整数k的最大值
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax
已知函数f(x)=ln(x+1),