已知函数f(x)=x2+ax,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 00:26:39
已知函数f(x)=x2+ax,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.
(1)求实数a的值;
(2)利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
(1)求实数a的值;
(2)利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
(1)由f(1+x)=f(1-x)得,
(1+x)2+a(1+x)=(1-x)2+a(1-x),
整理得:(a+2)x=0,
由于对任意的x都成立,∴a=-2.
(2)根据(1)可知f(x)=x2-2x,下面证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
设x1>x2≥1,则f(x1)-f(x2)=(x12-2x1)-(x22-2x2)
=(x12-x22)-2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2-2)
∵x1>x2≥1,则x1-x2>0,且x1+x2-2>2-2=0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
(1+x)2+a(1+x)=(1-x)2+a(1-x),
整理得:(a+2)x=0,
由于对任意的x都成立,∴a=-2.
(2)根据(1)可知f(x)=x2-2x,下面证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
设x1>x2≥1,则f(x1)-f(x2)=(x12-2x1)-(x22-2x2)
=(x12-x22)-2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2-2)
∵x1>x2≥1,则x1-x2>0,且x1+x2-2>2-2=0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
已知函数f(x)=x2+ax,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立.
已知函数f(x)=x2+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,求a的值.
已知函数F[X]=X2+AX+B 若对任意的实数X都有F[1+X]=F[1-X] 成立,求A的值
已知函数f(x)=x2+2ax+b的图像过点(1,3)且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)
已知函数f(x)=x的平方+ax+b,且对任意实数都有f(1+x)=f(1-x)成立.求a的值,和f(x)的单调区间
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值
已知函数f(x)=x²+ax,且对任意实数x都有翻f(1+x)=f(1-x)成立
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已知函数f(x)=x^2+ax+b.(1)若对任意实数x都有f(x+1)=f(1-x)成立,求实数a的值;(2)若f(x
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有:f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立,且当x>0时,有f
函数f(x)=xx+ax+b,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x),求实数a的值