已知a＞2，f（x）=x-alnx-a−1x，g（x）=12x2+ex−xex．（注：e是自然对数的底）

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/22 12:07:36

已知a＞2，f（x）=x-alnx-

a−1

（1）由a=1得，f（x）=x-lnx（x＞0），∴f′（x）=1−
1
x；
令f′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的极小值为f（1）=1，无极大值．
（2）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1-
a
x+
a−1
x2=
(x−1)[x−(a−1)]
x2，
∵a＞2，∴a-1＞1．
由f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞a-1，由f′（x）＜0，得1＜x＜a-1，
∴f（x）的单调增区间是（0，1），（a-1，+∞），单调减区间是（1，a-1）；
（3）由题意，存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等价于对任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[-2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，
由（2），当a＞2，x₁∈[e，e²]时，f（x）是增函数，f（x）_min=f（e）=e-a-
a−1
e，
∵g′（x）=x（1-e^x），对任意的x₂∈[-2，0]，g′（x）≤0，
∴g（x）是减函数，∴g（x）_min=g（0）=1．
∴e-a-
a−1
e＜1，
∴a＞
e2−e+1
e+1，
又∵a＞2，
∴a＞2．

（2013•湛江二模）已知a＜2，f(x)＝x−alnx−a−1x，g(x)＝12x2+ex−xex．（注：e是自然对数已知函数f(x)=-x²+2ex+t-1 ,g(x)=x+e²/x (x＞0,e表示自然对数的底数）已知函数g（x）=ex-1-ax，a∈R，e是自然对数的底数．已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=（x2+ax+b）•ex，其中e是自然对数的底数．函数f（x）在x＝−12和x＝32处取得极值．（2012•河南模拟）已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．已知函数f(x)＝exx2+x+1−3e249（e是自然对数的底数），g（x）=ax（a是实数）．已知函数f(x)=xex(e为自然对数的底）．求函数f(x)的单调递增区间（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=ex+x-2的零点为a，函数g（x）=lnx+x-2的零点为b，则下列不等式中成立