已知点D为△ABC内一点,连接AD,BD,CD,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 14:29:35

已知点D为△ABC内一点,连接AD,BD,CD,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上,且DC=DM,求证：ME=BD

证明：
（1）
在三角形BCD与三角形ACD中
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°,∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-15°=30°
从而 ∠ABD=∠BAD
∴BD=AD
又 BC=AC,CD是公共边
∴三角形BCD≌三角形ACD(边,边,边)
得到 ∠BDC=∠ADC
又 ∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-30°-30°=120°
从而 ∠BDC=∠ADC=1/2(360°-∠BDA)=1/2(360°-120°)=120°
又 ∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°①
得到 ∠CDE=∠BDC-∠BDE=120°-60°=60°②
由①②得 ∠BDE=∠CDE
∴DE平分∠BDC
(2)
在三角形CEM与三角形CAD中
由 CE=CA ①
∠CAD=∠CBD=15°
得 ∠CEM=∠CAD=15° ②
∵DC=DM,
∠CDE=60°(由(1)已证得)
∴三角形CDM是正三角形
从而 ∠DMC=∠MCD=∠NDC=∠CDE=60°
得到 ∠ECM=∠DMC-∠CEM=60°-15°=45°
又 ∠DCA=∠MDC-∠CAD=60°-15°=45°
∴∠ECM=∠DCA ③
由①②③得三角形CEM≌三角形CAD(角,边,角)
∴ME=AD ④
又 BD=AD （由(1)已经证得）⑤
由④⑤得 ME=BD