搜搜做题作业网求助一道线代矩阵的证明题!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 02:40:26
求助一道线代矩阵的证明题!
设detA=1,证明A一定能表示成若干个Ei,j(c)的乘积
Ei,j(c)就是那个把第I行（列）的C倍加到第J行（列）上
设detA=1,证明A一定能表示成若干个Ei,j(c)的乘积
Ei,j(c)就是那个把第I行（列）的C倍加到第J行（列）上
证明:因为detA=1,所以A可逆.
所以 A 可经Eij(c)型行变换化为上三角矩阵.
且由 det(A)=1,主对角线上元素必然都是1.
再经Eij(c)型行变换即可化为单位矩阵E.
所以存在Eij(c)型初等矩阵P1,...,Ps使得 P1...PsA=E.
所以 A = (P1...Ps)^-1 = Ps^-1...P1^-1.
由于Eij(c)型初等矩阵的逆矩阵仍是Eij(c)型
所以A可表示成Eij(c)型初等矩阵的乘积．
所以 A 可经Eij(c)型行变换化为上三角矩阵.
且由 det(A)=1,主对角线上元素必然都是1.
再经Eij(c)型行变换即可化为单位矩阵E.
所以存在Eij(c)型初等矩阵P1,...,Ps使得 P1...PsA=E.
所以 A = (P1...Ps)^-1 = Ps^-1...P1^-1.
由于Eij(c)型初等矩阵的逆矩阵仍是Eij(c)型
所以A可表示成Eij(c)型初等矩阵的乘积．