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设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 18:00:07
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
(1)证明∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴,
∴f(x+2)=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)解∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-f(x+2)=f(x),∴T=4.若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1],
∴f(x-4)=(x-4)3.又∵f(x-4)=f(x),
∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].若x∈(5,7],
则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x).
由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f[2-(x-4)]=f(x-4)
且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1],
故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3
综上可知f(x)=

(x−4)3           3≤x≤5
−(x−6)3        5<x≤7.