设函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象在x=0处的切线方程为24x+y-12=0.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 10:56:55
设函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象在x=0处的切线方程为24x+y-12=0.
(Ⅰ)求c,d;
(Ⅱ)若函数在x=2处取得极值-16,试求函数解析式并确定函数的单调区间.
(Ⅰ)求c,d;
(Ⅱ)若函数在x=2处取得极值-16,试求函数解析式并确定函数的单调区间.
(Ⅰ)∵f'(x)=3ax2+2bx+c,
∴f'(0)=c;-----------------(1分)
∵切线24x+y-12=0的斜率为k=-24,∴c=-24;-----------------(2分)
把x=0代入24x+y-12=0得y=12,∴P(0,12),-----------------(3分)
∴d=12.
∴c=-24,d=12.-----------------(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=ax3+bx2-24x+12
由已知得:
f(2)=16
f′(2)=0⇒
8a+4b−36=−16
12a+4b−24=0
∴
a=1
b=3-----------------(5分)
∴f(x)=x3+3x2-24x+12
∴f'(x)=3x2+6x-24=3(x2+2x-8)=3(x+4)(x-2)-----------------(6分)
由f'(x)>0得,x<-4或x>2;
由f'(x)<0得,-4<x<2;-----------------(7分)
∴f(x)的单调增区间为(-∞,-4),(2,+∞);
单调减区间为(-4,2).-----------------(8分)
∴f'(0)=c;-----------------(1分)
∵切线24x+y-12=0的斜率为k=-24,∴c=-24;-----------------(2分)
把x=0代入24x+y-12=0得y=12,∴P(0,12),-----------------(3分)
∴d=12.
∴c=-24,d=12.-----------------(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=ax3+bx2-24x+12
由已知得:
f(2)=16
f′(2)=0⇒
8a+4b−36=−16
12a+4b−24=0
∴
a=1
b=3-----------------(5分)
∴f(x)=x3+3x2-24x+12
∴f'(x)=3x2+6x-24=3(x2+2x-8)=3(x+4)(x-2)-----------------(6分)
由f'(x)>0得,x<-4或x>2;
由f'(x)<0得,-4<x<2;-----------------(7分)
∴f(x)的单调增区间为(-∞,-4),(2,+∞);
单调减区间为(-4,2).-----------------(8分)
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