1.1到100所有自然数中与100互质的各数之和是多少?

1.1到100所有自然数中与100互质的各数之和是多少?
2.歌德巴赫猜想是说：“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”.问：168是哪两个两位数的质数之和,并且其中一个的个位数字是1.
3.把21,26,65,99,10,35,18,77分成若干组,要求每组中任意两个数都互质,至少要分成几组?如何分?
4.三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍,求这三个质数.
5.两个自然数的和是72,它们的最大公
约数与最小公倍数的和是216,这两个数分别是几?
6.某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三位数依次是多少?
7.连续8个自然数的和既是9的倍数,也是11的倍数,那么这8个自然数中最大的一个数的最小值是多少?
8.写出10个连续的自然数,它们个个都是合数.
9.+2!+3!+…99!的后两位数字是多少?（注：= 1×2×3×…×n ）
10.少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分有趣.这200个灯泡按1～200编号,它们的亮暗规则是：
第一秒,全部灯泡变亮；
第二秒,凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态,即亮的变暗,暗的变亮；
一般地,第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态.
这样继续下去,每4分钟一个周期.问：第200秒时,明亮的灯泡有多少个?

1.100可以分解成2的平方和5的平方的乘积,所以与100可约的数都是2和5的倍数,那么凡末位数为0、2、4、5、6、8的数都不与100互质,反过来就是末位数为1、3、7、9的数都与100互质.
(1+3+7+9)+ (11+13+17+19)+ (21+23+27+29)+……+(81+83+87+89)+ (91+93+97+99)
= 20+(10×4+20) +(20×4+20)+……+(80×4+20)+ (90×4+20)
=20×10+(10+20+……+80+90)×4
=200+1800
=2000
故1到100所有自然数中与100互质的各数之和是2000 .
2.根据题目所知：168=质数+质数.因为其中一个质数的个位数字是1,所以另一个质数的个位数字就应该是7.
168=□1+□7
两个质数的十位上的数相加应该等于16,符合题目要求的就只有16=9+7.
因此,这两个质数就应该是71和97.
3.21=3×7,26=2×13,65=5×13,99=3×3×11,10=2×5,35=5×7,18=2×3×3,77=7×11,在这8个数中所有质因数为：2、3、5、7、11、13,要使每组中任意两个数都互质,那么同一组数中的质因数不能相同,要使分法最少,那么尽量使一组能包含以上6个质因数,分组如下：
（1）18=2×3×3,65=5×13,77=7×11
（2）26=2×13,35=5×7,99=3×3×11
（3）10=2×5,21=3×7
4.三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍,也就是说这三个质数的乘积是7的倍数,那么必有一个为7,则可易得这三个质数为3、5、7.
5.设这两个自然数的最大公约数是d,这两个数就为ad和bd.
由题意可得：ad+bd=（a+b）d=72,d+abd= (1+ab)d=216.
由此知：d必定是72的约数,72的约数有：72,36,24,18,12,9,8,6,4,3,2,1
把它们代入到两个算式中,只有d=6时有解,此时a,b分别是5和7.
所以这两个自然数分别是5×6=30和7×6=42.
6.题中给出可整除的数有2、3、4、5、6、7、8、9共8个,经观察：
能被8整除的数自然能被2和4整除；能被9整除的数自然能被3整除；能被8和9整除的数肯定能被6整除,所以我们只需要考虑5、7、8、9这四个数.
⑴因为1993abc能被5整除,所以c=0或5,再由这个七位数肯定是偶数（能被2整除）,可知c=0.
⑵因为1993abc能被9整除,所以（1+9+9+3+a+b+0）÷9,即（22+a+b）÷9.22+5=27=3×9,22+14=36=4×9,那么a+b=5或14.（a+b不能超过18）
⑶因为1993abc能被8整除,所以ab0÷8可以考虑成ab÷4,4的倍数有32、60、88,这其中各个位上数字的和为5或14的只有32一个,所以a和b可能是3和2.
⑷把a=3,b=2,c=0代入算式中,1993320÷7可以看成199332÷7,因为（332－199）÷7=19,所以1993320能被7整除.
根据以上分析可知,这个七位数的后三位数依次是3、2、0.
7.设8个数中最大的一个为a,那么最小的一个为(a－7),8个数的和为4[a+(a－7)] = 4(2a－7),于是2a－7是99的倍数,最小为99,从而a最小为53.
7.设8个数中最大的一个为a,那么最小的一个为(a－7),8个数的和为4[a+(a－7)] = 4(2a－7),于是2a－7是99的倍数,最小为99,从而a最小为53.
8.（构造法）取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这10个数的最小公倍数为27720,将27720分别加上2、3、4、5、6、7、8、9、10、11便得到10个连续的数；27720+2肯定是2的倍数,27720+3肯定是3的倍数,……,27720+11也肯定是11的倍数,所以它们是10个连续自然数且都为合数.
利用这种方法可以构造出任意多个连续的合数.
9.因为1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=6×4=24,5!=24×5=120,6!=120×6=720,7!=720×7=5040,8!=5040×8=40320,9!=362880,10!=3628800……
所以从第10项10!开始,后面各项的后两位数字都是“00”,所以只需计算前9项的后两位数之和,也就是1+2+6+24+20+20+40+20+80=213,最后两个位数应该是13.
10.某个灯泡,如果它的亮暗变化的次数是奇数,那么它是明亮的.根据题意可知,号码为K的灯泡,亮暗变化的次数等于K的约数的个数,若K的约数的个数是奇数,则K一定是平方数.所以第200秒时,那些编号是平方数的灯泡是明亮的.因为200以内有14个平方数,所以第200秒时明亮的灯泡有14个.