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若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为﹙-∞,4],则函数的解析式f(x)是

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/14 13:30:01
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为﹙-∞,4],则函数的解析式f(x)是
加以证明
若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为﹙-∞,4],则函数的解析式f(x)是
由于f(x)的定义域为R,值域为(-∞,4],
可知b≠0,∴f(x)为二次函数,
f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx²+(2a+ab)x+2a².
∵f(x)为偶函数,
∴其对称轴为x=0,∴-(2a+ab)/(2b)=0,
∴2a+ab=0,∴a=0或b=-2.
若a=0,则f(x)=bx²与值域是(-∞,4]矛盾,∴a≠0,
若b=-2,又其最大值为4,
∴(4b×2a²)/(4b)=4,∴2a²=4,
∴f(x)=-2x²+4.