如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD, ∠CAD=30° (Ⅰ)若AD=2,AB=2BC
来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 08:44:31
如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD, ∠CAD=30° (Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面体AB...
如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD, ∠CAD=30°
(Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积.
(Ⅱ)若二面角C-AB-D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.
如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD, ∠CAD=30°
(Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积.
(Ⅱ)若二面角C-AB-D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.
(I)设F为AC的中点,由于AD=CD,
所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD,
知DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,
AF=ADcos30°=3,
在Rt△ABC中,因AC=2AF=23,AB=2BC,
由勾股定理易知BC=2155,AB=4155.
故四面体ABCD的体积V=13•S△ABC•DF=13×12×4155×2155=45.
(II)设G,H分别为边CD,BD的中点,则FG∥AD,GH∥BC,
从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角.
设E为边AB的中点,则EF∥BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB,
又由(I)有DF⊥平面ABC,故由三垂线定理知DE⊥AB,
所以∠DEF为二面角C-AB-D的平面角,由题设知∠DEF=60°.
设AD=a,则DF=AD•SsinCAD=a2,
在Rt△DEF中,EF=DF•cotDEF=a2•33=36a,
从而GH=12BC=EF=36a,因Rt△ADE≌Rt△BDE,
故在Rt△BDF中,FH=12BD=a2.
又FG=12AD=a2,从而在△FGH中,因FG=FH,
由余弦定理得cosFGH=(FG²+GH²—HF²)÷(2FG×GH)=六分之根号三
所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD,
知DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,
AF=ADcos30°=3,
在Rt△ABC中,因AC=2AF=23,AB=2BC,
由勾股定理易知BC=2155,AB=4155.
故四面体ABCD的体积V=13•S△ABC•DF=13×12×4155×2155=45.
(II)设G,H分别为边CD,BD的中点,则FG∥AD,GH∥BC,
从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角.
设E为边AB的中点,则EF∥BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB,
又由(I)有DF⊥平面ABC,故由三垂线定理知DE⊥AB,
所以∠DEF为二面角C-AB-D的平面角,由题设知∠DEF=60°.
设AD=a,则DF=AD•SsinCAD=a2,
在Rt△DEF中,EF=DF•cotDEF=a2•33=36a,
从而GH=12BC=EF=36a,因Rt△ADE≌Rt△BDE,
故在Rt△BDF中,FH=12BD=a2.
又FG=12AD=a2,从而在△FGH中,因FG=FH,
由余弦定理得cosFGH=(FG²+GH²—HF²)÷(2FG×GH)=六分之根号三
如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD, ∠CAD=30° (Ⅰ)若AD=2,AB=2BC
在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1 求四面体ABCD的体积
在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AC=AD=2,BC=CD=1.求四面体ABCD的体积.
在四面体ABCD中,面ABC垂直面ACD,AB垂直BC,AC=AD=2,BC=CD=1,求四面体ABCD的体积
如图 在△ABC中 AB=AC AD⊥AB 交BC于点D 且∠CAD=30° 求证 BD=2CD
四面体ABCD中,AB=AC,BD=CD,平面ABC⊥平面BCD,EF为棱BC和AD的中点,AD⊥BC
如图,△ABC是等边三角形,AD//BC,CD⊥AD,AB=9,则∠ACD= ,AD=
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=60°,AB= DC=2,AD=1,R、P分别是BC、CD边
如图,在△ABC中,AD⊥BC于D:若CD/AD=AC/AB,是否能判定△ABD与△ACD相似
已知梯形ABCD中,AD//BC,∠ACD=∠B,求证AB^/CD^2=BC/AD
在四面体ABCD中,AB,BC,CD俩俩互相垂直,且BC=CD.1.求证:平面ACD垂直于平面ABC.2.求二面角C-A
如图,在梯形ABCD中,AD平行BC,AB=CD=AD,BD⊥CD,求∠DBC