已知关于x的方程|x^2+ax+b|=2,(其中a,b∈R)的解集为M,且M中有三个元素(1)求b=f(a)的表达式

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 21:48:42

已知关于x的方程|x^2+ax+b|=2,(其中a,b∈R)的解集为M,且M中有三个元素(1)求b=f(a)的表达式
（2）求出M中元素恰好为直角三角形三边长的充要条件

f(x)=x^2+ax+b,开口向上.
方程|x^2+ax+b|=2只有3个解.
说明顶点纵坐标为-2.
即f(-a/2)=a^2/4-a^2/2+b=-2
化简得：b=a^2/4-2
方程的三个解为：x1>x2,-a/2
M中元素恰好为直角三角形三边长,边长没有负数.
所以,x1>-a/2>x2>0.且⊿=a^2-2b>0
x1+x2=-a>0
x1*x2=b>0
只能以x1是斜边.
x1^2-x2^2=(x1-x2)^2+2x1*x2
=⊿/a^2+2b
=(a^2-4b)/a^2+2b=a^2/4
化简得：a^4-(4+8b)a^2+16b=0,视a^2为未知数,方程恒有解.
解得：a^2=(4b+2)±2√(4b^2+1)
当b>0,a^2=(4b+2)+2√(4b^2+1)时,a^2-2b>0恒成立.
当b>0,a^2=(4b+2)-2√(4b^2+1)时,代入a^2-2b>0得：0

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