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已知:RT△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,ED⊥AC于E 求证:AD²;=BD·CD

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/17 12:06:24
已知:RT△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,ED⊥AC于E 求证:AD²;=BD·CD
(2)求证AE·AC=BD·CD(3)若BD=16,CD=9,求DE的长
已知:RT△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,ED⊥AC于E 求证:AD²;=BD·CD
(1)证明:因为角BAC=角BAD+角DAC=90度
因为AD垂直BC于D
所以角ADC=角ADB=90度
因为角ADC+角C+角DAC=180度
所以角BAD+角DAC=角DAC+角C=90度
所以角BAD=角C
因为角ADB=角ADC=90度
所以三角形ADB和三角形ADC相似(AA)
所以:AD/DC=BD/AD
所以:AD^2=BD*CD
(2)因为DE垂直AC于E
所以角AED=角DEC=90度
因为角ADE+角AED+角DAE=180度
所以角ADE+角DAE=90度
因为角ADC=90度
角ADC+角DAC+角C=90度
所以角DAC+角C=角DAC+角ADE=90度
所以角ADE=角C
因为角AED=角ADC=90度
所以三角形AED和三角形ADC相似(AA)
所以:AD/AC=AE/AD
所以:AD^2=AE*AC
因为AD^2=BD*CD (已证)
所以:AE*AC=BD*CD
(3)因为AD^2=BC^CD(已证)
因为BD=16 CD=9
所以AD=12
因为角ADB=角DEC=90度(已证)
角BAD=角C(已证)
所以三角形ADB和三角形CED相似(AA)
所以BD/DE=AB/CD
角BAC=角ADB=90度
角B=角B
所以三角形ADB和三角形CAB相似(AA)
所以:AB/BC=BC/AB
所以:AB^2=(BC+CD)*BD=25*16
所以:AB=20
所以:16/DE=20/9
所以:DE=36/5=7.2
所以:DE的长是7.2