两个独立随机变量X∈[a,b] Y∈[c,d].X、Y概率密度已知且都是均匀分布,求Z=XY分布密度

两个独立随机变量X∈[a,b] Y∈[c,d].X、Y概率密度已知且都是均匀分布,求Z=XY分布密度

首先
f(x,y)=1/(b-a)(d-c) (a<=x<=b；c<=y<=d)
        =0 else

Fz(z)=P(XY<=z)

(情况很多,特别是长方形落在1,2,3,4象限交界处的话极其麻烦,楼主你要是忘了说明a,b,c,d大於0请告诉我)
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先取简单情况
X,Y取值都在第一象限时

求P(XY<=z)
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在ad<=bc下(f(x,y)在横的长方形)

ac<=xy<=ad时

=∫(c~z/a)∫(a~z/y) f(x,y) dxdy
=∫(c~z/a) (z/y-a)/{(b-a)(d-c)} dy
={zlny-ay}/{(b-a)(d-c)} (c~z/a)
={z(ln(z/(ac))-a(z/a-c)}/{(b-a)(d-c)}
={zln(z)-ln(ac)z+ac-z}/{(b-a)(d-c)}

 ad<xy<=bc 时
=∫(c~d)∫(a~z/y) f(x,y) dxdy
=∫(c~d) (z/y-a)/{(b-a)(d-c)} dy
={ln(d/c)*z-a(d-c)}/{(b-a)(d-c)}

bc<xy<=bd时
=1-∫(z/b~d)∫(z/y~b) dxdy
=1-∫(z/b~d){b-z/y}/{(b-a)(d-c)}dy
=1- {by-zlny}/{(b-a)(d-c)}  (z/b~d)
=1- {b(d-z/b)-zln(db/z)}/{(b-a)(d-c)}
=1-{bd-z-zln(db)+zln(z)}/{(b-a)(d-c)}
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在bc<=ad下(f(x,y)在纵的长方形)

ac<=xy<=bc时
=∫(a~z/c)∫(c~z/y) f(x,y) dydx
={zln(z)-ln(ac)z+ac-z}/{(b-a)(d-c)}

 bc<xy<=ad时
=∫(a~b)∫(c~z/x)f(x,y)dydx
={ln(b/a)*z-c(b-a)}/{(b-a)(d-c)}

 ad<xy<=bd时
=1-∫(z/d~b)∫(z/x~d)dydx
=1-{bd-z-zln(db)+zln(z)}/{(b-a)(d-c)}

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总之就是中间那块不同而已

都求导

fz(z)={ln(z)-ln(ac)}/{(b-a)(d-c)} (ac<=z<=ad 且 ac<=z<=bc)
       ={ln(z)-ln(bd)}/{(b-a)(d-c)} (ad<z<=bd且 bc<z<=bd)
       ={ln(d/c)}/{(b-a)(d-c)} (ad<z<=bc,要求bc>=ad)
       ={ln(b/a)}/{(b-a)(d-c)} (bc<z<=ad,要求ad>=bc)

还有一种是四象限都占有(a<0<b;c<0<d)