为什么自然数和有理数一样多,但实数却比自然数多?

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 22:46:52

为什么自然数和有理数一样多,但实数却比自然数多?
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因为自然数与有理数之间可以同时建立单射和满射,由有理数定义：设函数f(x)的函数值为有理数,自变量值为自然数,那么对于f(x)每一个函数值必可写为两自然数之比,那么自然数与有理数之间就可以建立满射和单射,从而它们相等（我们同样可以知道正整数与自然数一样多）
而实数有相当大的一部分（比如无理数、超越数）不存在很完善的映射,比如自然对数的底e就只能用无穷级数来表示,虽然每一个实数都可写为无穷级数,但这不能形成统一的映射（至少不能同时形成满射和单射）,所以可以判断实数比自然数多
再问：什么是单射和满射？
再答：单射指对于每一个x的值都有唯一一个y值，任意的x1不等于x2，都有y1不等于y2，所以我们可以知道集合x的元素数量小于等于集合y的元素数量。满射指对于集合x里每一个x的取值都有在集合y里至少一个y的映射，所以集合x的元素数量大于等于集合y的元素数量。同时满足单射和满射记为一一对应

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