若方程x+y-6√x+y +3m=0表示两条不重合的直线,求实数m的取值范围.

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 04:56:39

若方程x+y-6√x+y +3m=0表示两条不重合的直线,求实数m的取值范围.
我虽然知道解是这样：
设＝t,则原方程变为t2－6t＋3m＝0 (t≥0),
要使原方程表示两条直线,需方程t2－6t＋3m＝0 (t≥0)有2个相异非负实根,
则有不等式组,
(-6)^2-4*3m>0.(1)
3m≥0.(2)
解得：0≤m＜3
但是如果这个方程表示的两条直线一条经过（a,b) ,一条经过（b,a）他们不重合,√a+b =√b+a t1=t2 在这种情况下则不是可以有两个相等的实根吗?
我会追加分的

我们反过来分析
当方程有2个相异非负实根t1≠t2时,原方程可表示成
[√(x+y)-t1]*[√(x+y)-t2]=0
即√(x+y)=t1或√(x+y)=t2
x+y-t1²=0或x+y-t2²=0
若直线x+y-t1²=0经过(a,b),则a+b-t1²=0
即t1²=a+b
若直线x+y-t2²=0经过(b,a),则b+a-t1²=0
即t2²=a+b
∴t1²=t2²
又t1,t2均非负
∴t1=t2
∴此时x+y-t1²=0和x+y-t2²=0重合
所以实际上经过(a,b)的直线必定经过(b,a),换句话说就是经过(a,b)和经过(b,a)的直线是同一条直线
再问：不好意思，我又有点糊涂了，到底为什么“要使原方程表示两条直线，需方程t2－6t＋3m＝0 (t≥0)有2个相异非负实根”，方程的根代表的不是两直线的交点吗？
再答：不是交点直线的一般式为ax+by+c=0 若以上二次式t²-6t+3m=0表示两条直线，则二次式可以因式分解成 (t-t1)(t-t2)=0, t1≠t2 即直线一般式里的c不相等，两条直线平行
再问：那t²-6t-3m=0是如何表示两条直线的？怎样由一般式转化而来呢？为什么t1≠t2就表示一般式里的c不相等？不好意思这么多问题，麻烦了，等会儿我给您加分
再答：因为t=x+y 所以t²-6t-3m=0在因式分解后表示为(t-t1)(t-t2)=0 即(x+y-t1)(x+y-t2)=0 故(x+y-t1)=0或(x+y-t2)=0 t1,t2即为两条直线(x+y-t1)=0和(x+y-t2)=0在一般式中的c 所以t1≠t2就表示一般式里的c不相等

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