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在三棱锥P-ABC中,AP=a,AB=AC=sqrt(2)a,∠PAB=∠PAC=45°,求证:AP⊥平面PBC.

来源:学生作业帮 编辑:搜搜做题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 18:36:55
在三棱锥P-ABC中,AP=a,AB=AC=sqrt(2)a,∠PAB=∠PAC=45°,求证:AP⊥平面PBC.
在三棱锥P-ABC中,AP=a,AB=AC=sqrt(2)a,∠PAB=∠PAC=45°,求证:AP⊥平面PBC.
因为∠PAB=∠PAC
PA=PA
AB=AC
所以△PAB≌△PAC
所以PB=PC
则PB=PC=√(PA^2+AB^2-2PA*ABcos∠PAB)
=√(a^2+2a^2-2*a*a√2*√2/2)
=a
因为PB^2+PA^2=a^2+a^2=2a^2
AB^2=2a
所以PB^2+PA^2=AB^2
所以∠APB=90°
即PA⊥PB
同理PA⊥PC
因为
PB,PC在平面PBC上
所以AP⊥平面PBC