问一道初三数学的综合题

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 19:45:35

问一道初三数学的综合题
19、如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB上任意一点（点P不与点B重合），作PE⊥BC垂足为E，作EF⊥AC垂足为F，作FQ⊥AB垂足为Q，设BP＝x，AQ＝y.
(1) 求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(2) 当PQ＝求BP的长；
(3) 当P点和Q点重合时，求BP的长；
(4) 当线段PE和线段QF相交于D时，构成三角形DEF，设三角形DEF的面积为S，求S的取值范围（只要给出结果，不必写出计算过程）．
1.2.3都很好做，但是4没有方向，应该需要分三类讨论，但是我做出来的数字非常非常复杂...无法代入

（1）利用在Rt△PBE中,∵∠B=60° ∴∠BPE=30°
                            ∴  BE=BP/2=x/2
                                ∴ EC=2-x/2
                            同理：FC=EC/2=1-x/4 ,  AF=2-(1-x/4)=1+x/4
                                      AQ=AF/2=(1+x/4 )/2
                           ∴  y关于x的函数关系式： y=(x+4)/8
                            ∵ 点P是AB上任意一点（点P不与点B重合）
               ∴  定义域为：0<x《2
（2）当PQ＝时,遗忘了 PQ=?.. 不过没有关系,只要（3）会做,（2）就会做.
（3）当P点和Q点重合时,则： x+y=2 , y=2-x代入y=(x+4)/8   中,求得：x=4/3
                       ∴  当P点和Q点重合时,BP=4/3
(4) S的取值范围为：  (3根号3)/16《 S < (3根号3)/4
               如图：三种情况取决于x的取值范围,当P与A重合时,x=2, D点在三角形内,
                    由题得△DEF为等边三角形,所以,S= (3根号3)/16
                                  ∵  0<x《2
                                 ∴ 1/2《1-x/4<1
                              ∴ 1/4《(1-x/4)^2<1
                当 D点在三角形外,∵△DEF为等边三角形,∴,S =[(3根号3)/4]×(1-x/4)^2
                                ∴  (3根号3)/16《[(3根号3)/4]×(1-x/4)^2<(3根号3)/4
                                                         即：(3根号3)/16《 S < (3根号3)/4
                                当P与Q重合时,x=4/3, D点在三角形AB上,
这时,S=(根号3)/3 介于 (3根号3)/16与 (3根号3)/4之间.
                     所以,S的取值范围为：  (3根号3)/16《 S < (3根号3)/4
                                证毕!

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