一道组合题,在平面直角坐标系内,画出同时满足以下条件的所有矩形：（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；（2）这些矩

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 16:57:33

一道组合题,
在平面直角坐标系内,画出同时满足以下条件的所有矩形：
（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横、纵坐标均为整数的点称为整点）.
问：最多能画出多少个这样的矩形?说明你的理由.

这个问题稍微有点复杂,需要分两步来解答.
第一步先证明“N个整点,如果占据K个与坐标轴平行的直线的话,那么最多能画出C(K,2)×C(N/K,2)个矩形,C(M,N)为在M个元素里去N个的组合数”；
第二步求C(K,2)×C(N/K,2)的在K为变量时的最大值为C(根号N,2)^2.
第一步的证明可以用数学归纳法加二次函数的特性来证明；
第二步的解答只需要直接展开,再利用基本不等式就能求出.
答案是C(10,2)^2=45^2=2025.
具体怎么做,如果还不明白,给我回复一下,下次我写详细的过程.