搜搜做题作业网将函数ln（1+x-2x2）展开成x的幂级数．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 21:25:54
将函数ln（1+x-2x2）展开成x的幂级数．
因为ln（1+x-2x2）=ln（1-x）+ln（1+2x），
故只需计算ln（1-x）以及ln（1+2x）的幂级数展开式即可．
在−1≤x＜1中，ln(1−x)＝
∞
n＝1(−1)n−1
(−x)n
n＝
∞
n＝1
(−1)2n−1
nxn．
在−1＜2x≤1，即−
1
2＜x≤
1
2中，ln(1+2x)＝
∞
n＝1(−1)n−1
(2x)n
n．
因为 [−1，1)∩(−
1
2，
1
2]＝(−
1
2，
1
2]，
所以，ln（1+x-2x2））=ln（1-x）+ln（1+2x）=
∞
n＝1
(−1)n−12n−1
nxn，x∈(−
1
2，
1
2]．
故只需计算ln（1-x）以及ln（1+2x）的幂级数展开式即可．
在−1≤x＜1中，ln(1−x)＝
∞
n＝1(−1)n−1
(−x)n
n＝
∞
n＝1
(−1)2n−1
nxn．
在−1＜2x≤1，即−
1
2＜x≤
1
2中，ln(1+2x)＝
∞
n＝1(−1)n−1
(2x)n
n．
因为 [−1，1)∩(−
1
2，
1
2]＝(−
1
2，
1
2]，
所以，ln（1+x-2x2））=ln（1-x）+ln（1+2x）=
∞
n＝1
(−1)n−12n−1
nxn，x∈(−
1
2，
1
2]．
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