是否存在实数a,使得函数y=sin^2x +acosx+(5/8)a-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1?若存在

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/22 21:43:55

是否存在实数a,使得函数y=sin^2x +acosx+(5/8)a-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1?若存在,求对应的a值
若不存在，试说明理由

令t=cosx,则1-t²=sin²x,对于x∈[0,π/2],有t∈[0,1]
于是f(x)=1-t²+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2
令g(t)=-t²+at+(5/8)a-1/2,当g(t)取得最大值时,对应的f(x)也能取得相等的最大值
对g(t)求导,得：g′(t)=a-2t
当a≤0时,对于t∈[0,1]有g′(t)≤0,g(t)在t∈[0,1]上单调递减
于是当t=0时g(t)取得最大值g(0)=(5/8)a-3/2＜0,不符合题设
当a＞2时,g′(t)在t∈[0,1]上为正,g(t)在t∈[0,1]上单调递增,
于是当t=1时g(t)取得最大值g(1)=(13/8)a-3/2
令(13/8)a-3/2=1,得：a=20/13＜2,不符合
当0＜a≤2时,g′(t)在t∈[0,a/2)时为正,在t∈(a/2,1]时为负
于是当t∈[0,a/2)时,g(t)单调递增；当t∈(a/2,1]时,g(t)单调递减
当t=a/2时g(t)取得最大值g(a/2)=a²/4+(5/8)a-1/2
令g(a/2)=1,得a²/4+(5/8)a-3/2=0,
即2a²+5a-12=0,(2a-3)(a+4)=0
解出a=-4(舍去)或a=3/2
∴所求a存在,为3/2 ,而当f(x)取得最大值时,t=3/4=cosx