设A可逆矩阵且可对角化,证明A^(－1)也可以对角化

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 11:27:20

证明：A可相似对角化,则存在可逆矩阵P,使得
P^-1*A*P=^=[λi]
由于A为可逆矩阵,故λi≠0（否则A的行列式必为0）.
于是,对等式左右两边求逆,得
P^-1*A^-1*P=^(^-1)=[1/λi]
也即A的可逆阵也可以相似对角化,且相似变换矩阵仍可为P,对角化后矩阵对角线上各元素为P相似对角化后各元素的倒数.
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