搜搜做题作业网（2014•燕山区一模）阅读下面材料：
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/13 06:54:55
（2014•燕山区一模）阅读下面材料：
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图1，平行四边形
ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．
请解决下列问题：
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有______个；
（3）若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图2，请画出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由．
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图1，平行四边形
ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．
请解决下列问题：
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有______个；
（3）若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图2，请画出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由．
（1）三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上．
（2）如图1，此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAF、矩形ABHK、矩形ABED，
故答案为：2．
（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，
其中的矩形ABHK的周长最小，
理由如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，
△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：
L1=
2S
a+2a，L2=
2S
b+2b，L3=
2S
c+2c，
∴L1-L2=（
2S
a+2a）-（
2S
b+2b）=-
2S
ab（a-b）+2（a-b）=2（a-b）•
ab−S
ab，
而ab＞S，a＞b，
∴L1-L2＞0，即L1＞L2，
同理可得，L2＞L3，
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．
（2）如图1，此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAF、矩形ABHK、矩形ABED，
故答案为：2．
（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，
其中的矩形ABHK的周长最小，
理由如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，
△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：
L1=
2S
a+2a，L2=
2S
b+2b，L3=
2S
c+2c，
∴L1-L2=（
2S
a+2a）-（
2S
b+2b）=-
2S
ab（a-b）+2（a-b）=2（a-b）•
ab−S
ab，
而ab＞S，a＞b，
∴L1-L2＞0，即L1＞L2，
同理可得，L2＞L3，
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．