设函数f（x）=lnx-px+1

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 14:56:47

设函数f（x）=lnx-px+1
（1）若当x=2时，f（x）取得极值，求p的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围．

f′（x）=
1
x-p，x＞0，
（1）若当x=2时，f（x）取得极值，
∴f′（2）=0，即
1
2-p=0，p=
1
2，
p=
1
2时，f′（x）=
1
x-
1
2，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
∴f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；
（2）x＞0时，若f（x）=lnx-px+1≤0，
∴p≥
lnx+1
x，
设g（x）=
lnx+1
x，
∴g′（x）=-
lnx
x2，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴p的范围是：[1，+∞）．

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