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（2014•红桥区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于

来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/26 05:10:55
（2014•红桥区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？
（2014•红桥区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于
（1）由抛物线的解析式知，点C（0，8），即 OC=8；
Rt△OBC中，OB=OC•tan∠ABC=8×
1
2=4，则 点B（4，0）．
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

4a−2b+8＝0
16a+4b+8＝0，解得

a＝−1
b＝2，
∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，顶点D（1，9）；

（2）设直线CD的解析式为：y=kx+8，
将点D坐标代入上式，得：k=1；
∴直线CD：y=x+8，点E（-8，0）．
∴OC=OE=8，∠CEB=45°．
在四边形EMPN中（如右图），∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME、∠PNO都是直角），
①当∠OPM=75°时，∠OPN=135°-75°=60°；
在Rt△OPN中，ON=
1
2OB=2，PN=
2
3
3；
②当∠OPQ=75°时，∠OPN=135°+75°-180°=30°，
在Rt△OPN中，ON=
1
2OB=2，PN=2
3；

综上，存在符合条件的P点，且坐标为 （2，
2
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