搜搜做题作业网已知函数f（x）=1+lnxx，（x≥1）．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜做题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 00:55:44
已知函数f（x）=
| 1+lnx |
| x |
（I）求导函数，可得f′(x)＝−
lnx
x2
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减；
（II）f（x）≥
k
x+1恒成立，即
(x+1)(1+lnx)
x≥k恒成立，
记g（x）=
(x+1)(1+lnx)
x，则g′（x）=
x−lnx
x2
再令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1−
1
x
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增
∴[g（x）]min=g（1）=2
∴k≤2．
lnx
x2
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减；
（II）f（x）≥
k
x+1恒成立，即
(x+1)(1+lnx)
x≥k恒成立，
记g（x）=
(x+1)(1+lnx)
x，则g′（x）=
x−lnx
x2
再令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1−
1
x
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增
∴[g（x）]min=g（1）=2
∴k≤2．