线性代数的概念问题~到底是 线性无关的 向量 可由 线性相关的 向量 表示出 还是 反之?

线性代数的概念问题~到底是 线性无关的 向量 可由 线性相关的 向量 表示出 还是 反之?

线性代数一些最重要的概念可以整理如下所示：
（1）行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容,它们不是孤立隔裂的,而是相互渗透,紧密联系的,例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n（满秩阵）〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2…PN,其中PI（I=1,2,…,N）是初等阵〈===〉r（AB）=r（B）<===>A初等行变换 
　证｜A｜＝0；证向量组α1,α2,…αt的线性相关性,亦可引伸为证α1,α2…,αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即β能否由α1,α2…,αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性等 

（2）　矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的,若r(A)＜r,则A中r阶子式全为0 

（3）矩阵A＝(α1,α2,…,αm)与B＝(β1,β2…,βm)等价,意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,可知矩阵A＝(α1,α2,…αm)与B＝(β1,β2,…βm)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价 

（4）如果a1……as可由b1……bt线性表示 
则当s>t,a1……as线性相关；若a1……as线性无关,则s<t 

（5）设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB＝0,那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有 　r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n  

（6）若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量,P就是由A的线性无关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值,则齐次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成,进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni,那么,如果A不能相似对角化,则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni,若A是实对称矩阵,则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化 

（7）求矩阵A的特征值,可以通过计算行列式｜λE-A｜,若λ＝λ0是A的特征值,则行列式｜λ0E-A｜＝0 

（8）实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC＝B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立,进而知A与B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵A～BAB,即相似是合同的充分条件 

（9）二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证明相关矩阵的正定性时,可利用标准形,规范形,特征值等到证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件 

（10）如果A,B都是正交矩阵,则A*B为正交矩阵.如果A,B都是正定矩阵,则A+B为正定矩阵