初四二次函数数学题,如图,在直角坐标系中,点A的坐标为（－2,0）,连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 00:15:42

初四二次函数数学题,
如图,在直角坐标系中,点A的坐标为（－2,0）,连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标；若不存在,请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有,请说明理由.

如图,在直角坐标系中,点A的坐标为（－2,0）,连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标；若不存在,请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有,请说明理由.
(1)解析：∵A(-2,0),由题意可知,OB倾角为180-120=60°
∴B(2cos60°,2sin60°)=B(1,√3)
(2)解析：设f(x)=ax^2+bx+c
f(-2)=4a-2b+c=0,f(0)=c=0,f(1)=a+b+c=√3
三者联立解得a=√3/3,b=2√3/3,c=0
f(x)= √3/3x^2+2√3/3x
(3)解析：设C点存在,C(-1,y)
|OB|=2,|OC|=√(y^2+1),|BC|=√((√3-y)^2+4)
∴△BOC的周长T=√(y^2+1)+√((√3-y)^2+4)+2
令T’=y/√(y^2+1)+(y-√3)/√((√3-y)^2+4)=0
解得y=√3/3
即当y=√3/3,△BOC的周长取最小值
(4)解析：∵点P是抛物线上的动点,且在x轴的下方
|AB|=√(3^2+3)=2√3
AB方程：y=√3/3(x+2)==>√3x-3y+2√3=0
P到AB距离d=|√3x-3y+2√3|/(2√3)
d=|√3x-3(√3/3x^2+2√3/3x)+2√3|/(2√3)
=|-3√3x^2-√3x+2√3|/(2√3) =|-3x^2-x+2|/2
设h(x)= -3x^2-x+2==> h’(x)= -6x-1=0x=-1/6
∴当x=-1/6时h(x)取极大值
即当P(-1/6,-11√3/108)时,到AB距离最大
此时d=25/24
△PAB面积=1/2*25/24*2√3=25√3/24