一道关于极限的高数题设x(n+1)=ln(1+xn) ,x1＞0第一个问题：求lim(n趋于正无穷)xn第二个问题：求l

来源：学生作业帮编辑：搜搜做题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/17 09:52:25

一道关于极限的高数题
设x(n+1)=ln(1+xn) ,x1＞0
第一个问题：求lim(n趋于正无穷)xn
第二个问题：求lim(n趋于正无穷)[xn*x(n+1)]/[xn-x(n+1)]
第一问：[注意：x＞ln(x+1) (x＞0)]
于是 ,x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn＜0 （n=1,2,3,……）
推出：xn单调减少有下界0
推出：存在极限
lin（x趋于正无穷）xn 记为 a （a ≥0）
推出：a=ln(1+a) (a>0时 a>ln(1+a))
推出：a=0
第二问：
原式=lim(n趋于正无穷) [xnln(1+xn)]/[xn-ln(1+xn)]
(数列极限转化为函数极限)lim(x趋于0) [xln(1+xn)]/[x-ln(1+x)]
=lim(x趋于0) x^2/[x-ln(1+x)]
=lim(x趋于0) 2x/[1-1/(1+x)]
=2
我的疑问：
第一：
为什么 [x＞ln(x+1) (x＞0)] 以及“xn单调减少有下界"
是通过设函数做差求导和画图结合吗 x=0时差最小为0
第二：
a=ln(1+a) (a>0时 a>ln(1+a))
推出：a=0
这个地方没太理解好,能帮我解释下为啥能直接设a吗
第三个疑问：
数列转化为函数极限时：为什么范围由
lim(n趋于正无穷）变为lim(x趋于0)?
不着急,希望好心人有空的时候回答一下吧,

第一：
那个是通过作差求导做的,可以记住这个结论
设f(x)=x-ln(1+x) (x>0)
f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0
所以f(x)在(0,+∞)单调递增
f(x)>f(0)=0
所以x>ln(1+x)
然后用后一项减前一项x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn
它这里直接就说ln(1+xn)-xn0啊,它怎么没有证明呢?
我想还是要证明一下的,可以用数学归纳法
x1>0
假设当n=k时,xk>0
当n=k+1时,x(k+1)=ln(1+xk)>0
所以可以得出xn>0
那么就能推出x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn

一道关于极限的高数题设x(n+1)=ln(1+xn) ,x1＞0第一个问题：求lim(n趋于正无穷)xn第二个问题：求l 设Xn>0,Xn+1（第n+1项）=ln(1+Xn),求n趋向于无穷时Xn的极限已知X1=2 X(n+1)=Xn(1-Xn)^2 求Xn当n趋于无穷大时的极限设x1=根号a,x2=根号（a+x1）,.,xn=根号（a+xn-1）,.,其中a大于0,求xn的极限,n趋于无穷求极限,当Xn=,则当n趋于无穷Xn的极限. 数列xn由下列条件确定：x1=a>0,x(n+1)=1/2(xn+2/xn),n∈N.若数列xn的极限存在且大于0,求l 设X1>0,xn+1=3(1+xn) / 3+xn (n=1,2…)求lim xn. 数列求极限的问题数列求极限：Xn=(2^n -1)/3^n （n是自然数）,那么lim n→∞ Xn=lim n→∞[( 已知数列xn满足xn-xn^2=sin(xn-1/n),证明xn的趋向正无穷的极限为0 求lim(ln(1+x^n)/ln^m(1+x))的极限(x趋于0) 证明数列收敛求极限设X1>0 a>0 且 X(n+1)=1/2(Xn+a/Xn) 求数列｛Xn｝极限求极限：lim(n→ ∝ )Xn,X1=a^1/2,X2=(a+X1)^1/2……Xn=(a+Xn-1)^1/2